Nació en San Estanislao (hoy Diócesis de San Pedro Apóstol) el día 20 de setiembre de 1939. Sus padres son: Don Zacarías Cuquejo y Doña Eva Concepción Verga.
Fue bautizado en la Iglesia Parroquial por el R.P. Pedro Casella, S.I., el día 22 de febrero de 1940, siendo sus padrinos Don Eustaquio Liuzzi y Doňa Maria de Liuzzi. Recibió el sacramento de la confirmación de manos del Obispo de Concepción, Monseñor Emilio Sosa Gaona, el día 13 de agosto de 1940, siendo sus padrinos el Dr. Alejandro Marín Iglesias y Sra. Doña María Victoria Saens Valiente. Hizo su primera comunión el día 15 de agosto de 1947, fiesta de Nuestra Señora Santa María de la Asunción.
Realizó sus estudios primarios en el Colegio de Jesús Sacramentado, en San Estanislao, hasta finales del año 1947, para trasladarse luego a Asunción y culminar el ciclo primario en la Escuela Parroquial N. S. del Perpetuo Socorro, de los R.P. Redentoristas. En 1952 ingresó al Colegio de Goethe, donde siguió sus estudios secundarios.
En marzo de 1957 ingresa al Seminario de los Misioneros Redentoristas en Bella Vista, Buenos Aires, Argentina, y en diciembre del mismo año comienza el año del Noviciado, en la ciudad de Manuel Ocampo.
El 2 de febrero de 1959 emite su Profesión Religiosa en la Congregación de los Misioneros Redentoristas. En marzo de ese mismo año viaja a los Estados Unidos de América para realizar los estudios de filosofía y teología en el Seminario Mayor de los Misioneros Redentoristas, en el pueblo de Esopus, Nueva York.
Fue ordenado sacerdote por el Cardenal Francis Spellman, Arzobispo de Nueva York, el día 21 de junio de 1964, fiesta de N.S. del Perpetuo Socorro.
En 1965 realiza el Tirocinium pastoral en la ciudad de Anápolis, Estado de Maryland, USA, y un curso de psiquiatría pastoral en la Ciudad de Washington. Regresó al Paraguay para celebrar su primera Misa Solemne, en Paraguay, el día 8 de mayo de 1966, en la parroquia N.S. del Perpetuo Socorro; regresa al Brasil para completar su año de pastoral misionera en la Ciudad de Ponta Grossa, Paraná.
Retorna al Paraguay en 1967 y trabaja en las parroquias de Pedro Juan Caballero y Asunción hasta mediados de 1968.
El 21 de julio de 1968 es nombrado profesor y prefecto de los estudiantes menores en el Seminario Menor de los Misioneros Redentoristas en Ponta Grossa, Paraná, Brasil, y en marzo de 1973 es nombrado asistente espiritual de los seminaristas mayores y profesor de teología moral en el “Stadium Theologicuir” de Curitiba, Paraná, Brasil.
En el mes de agosto de 1975 se traslada a la Ciudad de Roma, Italia, para realizar los estudios de postgrado en Teología Moral Obtiene la Licenciatura con el grado “Summa cum Laude”, en la Academia Alfonsiana, adjunta a la Pontificia Universidad Lateranense de Roma, en junio de 1977.
En la Asamblea electiva de los Misioneros Redentoristas del Paraguay es electo Superior de los mismos el 6 de enero de 1978 y reelegido en el cargo tres años después, en enero de 1981. Durante el segundo mandato se erige el Seminario Mayor de los Misioneros Redentoristas en el Paraguay y en el mes de octubre del mismo año es nombrado Superior Vice-Provincial de los Misioneros Redentoristas en Paraguay.
En marzo de 1978 es electo Vicepresidente de la Federación de Religiosos del Paraguay (Ferelpar, hoy CONFERPAR). En 1976 es electo Delegado de los Religiosos del Paraguay para asistir a la II Conferencia del Episcopado Latinoamericano en Puebla, México. En 1981 es electo Presidente de la Ferelpar.
El Papa Juan Pablo II lo nombra el 26 de junio de 1982 Obispo Titular de Budua y Auxiliar de Asunción, siendo ordenado por el Sr. Arzobispo de Asunción, Monseñor Ismael Rolón Silvero, el día 15 de agosto del mismo año, fiesta de Nuestra Señora de la Asunción, en la Catedral Metropolitana.
- En 1983 es electo miembro del Consejo Episcopal Permanente de la CEP. En 1984 es electo Presidente de la Comisión de Asuntos Económicos de la CEP.
- Por Decreto de la Congregación para los Religiosos e Institutos Seculares de la Santa Sede, el día 12 de diciembre de 1986 es nombrado Delegado Pontificio para las Hermanas Dominicas del Santísimo Sacramento, Congregación de origen paraguayo.
- En 1986 es nombrado Presidente del Equipo Nacional de Educación de la Conferencia Episcopal Paraguaya.
- En 1986 y 1987 la CEP lo nombra Presidente de las comisiones para preparar el II Congreso Eucarístico Nacional y la Visita de Su Santidad Juan Pablo II al Paraguay.
- En mayo de 1987, es nombrado Director General de Radio Cáritas, cargo que ejerce hasta el año 1989.
- En 1987, el Consejo Episcopal Latino Americano (CELAM) lo nombró miembro del Departamento de Educación.
Ante la corta vacancia en la Sede Metropolitana de Asunción, el Colegio de Consultores de la Arquidiócesis de Asunción lo elige Administrador Diocesano de la misma hasta la toma de posesión del nuevo Arzobispo, Mons. Felipe Santiago Benítez.
Su Santidad Juan Pablo II lo nombró Prelado de Alto Paraná y Canindeyú el 19 de abril de 1990 y tomó posesión de la Prelatura el 10 de junio del mismo año.
El Consejo Episcopal Latino Americano (CELAM) lo nombró Presidente del Departamento de Educación por un periodo de cuatro años, en 1991.
Su Santidad Juan Pablo II lo nombra Obispo Castrense del Paraguay el 5 de mayo de 1992 y toma posesión del cargo el 28 de junio del mismo año.
Durante la Asamblea Plenaria Ordinaria de la CEP, en noviembre de 1994 es electo Secretario General de la CEP.
Su Santidad Juan Pablo II lo nombró Administrador Apostólico de la sede vacante de la Diócesis de Caacupé el 2 de noviembre de 1994.
En el año 1995, el Consejo Episcopal Latino Americano (CELAM) lo nombró Responsable de la Pastoral Castrense para los Obispados Castrenses de América Latina por un periodo de cuatro años.
En 1997, la Conferencia Episcopal Paraguaya lo nombra Coordinador General del Plan Global del Gran Jubileo del Año 2000. En ese mismo año es nombrado Presidente de la Comisión Nacional del Proyecto «Paraguay Jaipotáva».
En 1998, Su Santidad Juan Pablo II lo nombró Consejero de la Comisión Pontificia para los Obispados Castrenses de la Iglesia Universal, por un quinquenio.
El 3 de febrero del año 2000, fiesta de San Blas, el Papa Juan Pablo II lo nombró Administrador Apostólico de la sede vacante de la Diócesis de Alto Paraná, hoy Ciudad del Este.
Es nombrado Arzobispo Metropolitano de la Arquidiócesis de Nuestra Señora de la Asunción, el 15 de junio del año 2002 por el Papa Juan Pablo II.
El 21 de junio de ese mismo año, celebró sus bodas de oro sacerdotales.
Se constituyó en sucesor de Monseñor Felipe Santiago Benítez y quinto arzobispo de la Arquidiócesis de la Santísima Asunción, asumiendo la sede metropolitana en la celebración eucarística realizada en la Catedral el 14 de julio de 2002, fecha en la cual también fue nombrado Administrador Apostólico del Obispado Castrense.
Fue electo presidente de la Conferencia Episcopal Paraguaya por el período 2008 – 2011.
El 8 de noviembre de 2011, el Santo Padre Benedicto XVI designó a Monseñor Edmundo Valenzuela Mellid como Arzobispo Coadjutor de esta Circunscripción eclesiástica.
En conformidad con el canon 401 s 1 del Código de Derecho Canónico, Monseñor Pastor Cuquejo presentó su renuncia al gobierno pastoral de la Arquidiócesis de la Santísima Asunción el 20 de septiembre de 2014, la cual fue aceptada por el Santo Padre el 6 de noviembre de ese mismo año, siendo sucedido inmediatamente por el Arzobispo coadjutor, Monseñor Edmundo Valenzuela.
En los últimos años, siguió acompañando silenciosamente el caminar de la Iglesia en la Arquidiócesis de Asunción, a través de su oración silenciosa y participando de algunas celebraciones.
Falleció el 22 de agosto de 2023, a la edad de 83 años.